Matteo Basei

Una collezione di piccoli programmi realizzati a scopo didattico.

Frattali (funzioni esponenziali)

"Caos: quando il presente determina il futuro, ma un'approssimazione del presente non determina approssimativamente il futuro."

Edward Norton Lorenz

Il tratto in comune tra le immagini che si ottengono iterando queste funzioni è la presenza della caratteristica forma "a cactus". Questa stessa forma può essere ritrovata anche nella tetrazione, che in effetti non è altro che un'iterazione dell'elevamento a potenza.

f(z) = c^z
$f(z) = c^z$
f(z) = c^z
$f(z) = c^z$

Ovviamente anche la radice rientra in questa categoria e presenta le medesime forme, infatti $$ \sqrt[z]{c} = c^{\frac{1}{z}} = c^{z^{-1}} $$

f(z) = c^(1/z)
$f(z) = \sqrt[z]{c}$
f(z) = c^(1/z)
$f(z) = \sqrt[z]{c}$
"Question mark"
f(z) = z + (-1)^(z / 10)
$f(z) = z + \sqrt[10]{\left( -1 \right)^z}$
"Fractal sea"

La funzione $f(z) = z^z + c$ è molto interessante esteticamente in quanto presenta un miscuglio tra la forma a cactus di $c^z$ e alcune forme spiraleggianti più "classiche" (nell'ambito dei frattali).

f(z) = z^z + c
$f(z) = z^z + c$
f(z) = z^z + c
$f(z) = z^z + c$
f(z) = z^z + c
$f(z) = z^z + c$

Infine anche la funzione seno presenta la medesima forma a causa del legame tra le funzioni trigonometriche e l'esponenziale complessa, infatti $$ \sin(z) = \frac{e^{i \, z} - e^{-i \, z}}{2 \, i} $$

f(z) = sin(z) + c
$f(z) = \sin(z) + c$