Schlafli i politopi regolari

"Ancora una volta mi sentii sollevare nello Spazio. Era proprio come la Sfera aveva detto. Più ci allontanavamo dall'oggetto che stavamo osservando, più il campo visivo aumentava. La mia città natia, con l'interno di ogni casa e di ogni creatura ivi contenuta, si apriva al mio sguardo come in miniatura. Salimmo ancora e, oh, i segreti della terra, le profondità delle miniere e le più remote caverne dei monti, tutto si svelava davanti a me!"

Con il termine politopo, coniato dalla matematica irlandese Alicia Boole (figlia di George Boole), si indica la generalizzazione $n$-dimensionale dei poligoni bidimensionali e dei poliedri tridimensionali. La definizione formale è data a partire dalla definizione di inviluppo convesso in $\mathbb{R}^n$. Un insieme di punti $S \subset \mathbb{R}^n$ è convesso se per ogni coppia di punti $p, q \in S$ l'insieme dei punti $$ \left( 1 - \lambda \right) p + \lambda \, q $$ con $\lambda \in \left[ 0 , 1 \right]$ è interamente in $S$. L'inviluppo convesso di un insieme di punti è il più piccolo convesso che li contenga tutti. Data tale definizione un politopo $n$-dimensionale è semplicemente l'inviluppo convesso di un insieme finito di punti in $\mathbb{R}^n$.

La definizione di $n$-politopo regolare è data invece in modo ricorsivo: in dimensione $n$ un $n$-politopo regolare è un politopo le cui facce $\left( n − 1 \right)$-dimensionali sono un certo numero di $\left( n − 1 \right)$-politopi regolari identici.

Tale definizione porta naturalmente ad un successione infinita molto particolare $$ 1 , 1 , \infty , 5 , 6 , 3 , 3 , 3 , ... $$ che ritroveremo nella tabella riepilogativa al termine di questa pagina.

$n = 0$

La base induttiva della definizione ricorsiva di politopo regolare è data per $n = 0$. Per $n = 0$ esiste solo il punto. Per definizione il punto è il solo e unico $0$-politopo regolare.

$n = 1$

Esistono solo i segmenti. I segmenti sono delimitati da $2$ punti, chiamati vertici del segmento. Essendo tutti i punti identici anche il segmento è un $1$-politopo regolare. Esso ha infatti come facce $0$-dimensionali due $0$-politopi regolari identici (i punti, per l'appunto).

Ci sono infiniti segmenti che possono differire solo per la lunghezza, cioè la distanza tra i vertici. Nella classificazione dei politopi regolari considereremo sempre uguali due politopi che differiscono solo per la dimensione (mentre ciò non faremo nella loro costruzione, alla richiesta di uguaglianza dei politopi che ne costituiscono le facce).

$n = 2$

Un politopo bidimensionale è detto poligono. I $2$-politopi regolari sono gli infiniti poligoni regolari. In notazione di Schlafli (Ludwig Schlafli, matematico svizzero dell'ottocento) si indicano con $\left\{ k \right\}$, per ogni $2 < k \in \mathbb{N}$. Il poligono regolare $\left\{ k \right\}$ è costituito da $k$ segmenti identici (della medesima lunghezza) chiamati lati.

Per $k \leq 2$ l'angolo interno del poligono non potrebbe essere positivo, infatti se $k \leq 2$ allora $\pi - 2 \pi / k \leq 0$ e $\pi - 2 \pi / k$ è proprio l'angolo interno di un poligono. Lo si vede facilmente considerando in una spezzata gli angoli che ogni segmento successivo forma rispetto al precedente (essendo $0$ l'angolo nel caso degenere in cui i segmenti siano collineari). Essendo un poligono una spezzata chiusa la somma di tali angoli, chiamati in questo caso angoli esterni, deve essere pari all'angolo giro, $2 \pi$, ed essendo tutti gli angoli uguali in un poligono regolare con $k$ lati tali angoli saranno pari a $2 \pi / k$. Infine la somma tra angolo interno e angolo esterno è pari all'angolo piano, $\pi$, quindi l'angolo interno è pari all'angolo piano meno l'angolo esterno, cioè $\pi - 2 \pi / k$.

Un poligono regolare avente $k$ lati ha $k$ vertici. $\left\{ 3 \right\}$ è il triangolo, $\left\{ 4 \right\}$ è il quadrato, $\left\{ 5 \right\}$ è il pentagono, $\left\{ 6 \right\}$ è l'esagono, eccetera.

$n = 3$

Un politopo tridimensionale è detto poliedro. In notazione di Schlafli $\left\{ k , h \right\}$ è un poliedro regolare avente come facce il poligono regolare $\left\{ k \right\}$ e in cui in ogni vertice incidono $h$ facce.

$\left\{ k , h \right\}$ può essere un poliedro regolare solo se $3 \leq k \leq 5$. Per $k < 3$, banalmente, non esistono poligoni regolari $\left\{ k \right\}$. Per $k > 5$ il problema sorge invece riguardo la somma degli angoli interni delle $h$ facce che incidono su un vertice. In un vertice, per non ricadere in casi in cui il solido degenera in una figura piana, devono incidere almeno $3$ facce, quindi $h \geq 3$. Essendo come già detto $\pi - 2 \pi / k$ l'angolo interno di un poligono regolare avente $k$ lati, la somma degli angoli interni delle $h$ facce che incisono su un vertice è pari a $h \left( \pi - 2 \pi / k \right)$. Tale angolo deve essere minore dell'angolo giro, quindi $h \left( \pi - 2 \pi / k \right) < 2 \pi$, ma già con l'esagono con $k = 6$ e $h = 3$ si ha $3 \times \left( \pi - 2 \pi / 6 \right) = 2 \pi$. A maggior ragione per $k > 6$.

Come piccola digressione, nel caso dell'esagono, in cui con $3$ facce incidenti su un vertice si ha come somma degli angoli interni esattamente $2 \pi$, invece di costruire un poliedro si ottiene una tassellatura del piano. La tassellatura con poligoni regolari si può ottenere anche con i triangoli e i quadrati, anche se il numero di poligoni adiacenti al vertice saranno differenti, e per la precisione rispettivamente $6$ per i triangoli, in quanto $6 \times \left( \pi - 2 \pi / 3 \right) = 2 \pi$, e $4$ per i quadrati, in quanto $4 \times \left( \pi - 2 \pi / 4 \right) = 2 \pi$. Per i pentagoni invece la tassellatura è impossibile in quanto si avrebbe $\frac{10}{3} \times \left( \pi - 2 \pi / 5 \right) = 2 \pi$. Per $k > 6$ non possono esistere tassellature costruite con poligoni regolari esattamente come non possono esistere poliedri regolari in quanto l'angolo sarà sempre maggiore di $2 \pi$.

Tornando ai poliedri con $k = 3 , 4 , 5$ si ha rispettivamente il tetraedro $\left\{ 3 , 3 \right\}$, costituito da $4$ triangoli, il cubo $\left\{ 4 , 3 \right\}$ costituito da $6$ quadrati e il dodecaedro $\left\{ 5 , 3 \right\}$ formato da $12$ pentagoni.

Il poliedro duale di un dato poliedro è un poliedro in cui ad ogni vertice corrisponde una faccia del poliedro di partenza. Il concetto di politopo duale è applicabile solo per $n \geq 3$, infatti per $n = 2$ porta a risultati banali (una rotazione del poligono regolare), mentre per $n < 2$ non è applicabile (ad un segmento delimitato da due punti dovremmo sostituire un punto in cui incidono... due semirette?). Usando la notazione di Schlafli si ha quindi che il duale di $\left\{ k , h \right\}$ è $\left\{ h , k \right\}$. Se $k = h$ il poliedro è autoduale (tornando al caso $n = 2$, si potrebbe alternativamente accettare la definizione di dualità anche per i poligoni regolari, ma in questo modo tutti i poligoni regolari sarebbero banalmente autoduali). Il tetraedro è autoduale. Il duale del cubo è l'ottaedro $\left\{ 3 , 4 \right\}$, costituito da $8$ triangoli (laddove il cubo ha $8$ vertici). Il duale del dodecaedro è l'icosaedro $\left\{ 3 , 5 \right\}$, costituito da ben $20$ triangoli e $12$ vertici (in luogo delle $12$ facce e dei $20$ vertici del dodecaedro).

Non esistono altri poliedri regolari oltre a questi $5$, che sono detti solidi platonici (furono studiati fin dall'antichità, da Pitagora e Teeteto e resi famosi da Platone). Le combinazioni rimanenti sarebbero $\left\{ 4 , 4 \right\}$, $\left\{ 4 , 5 \right\}$, $\left\{ 5 , 4 \right\}$ e $\left\{ 5 , 5 \right\}$ che si escludono facilmente, infatti $4 \times \left( \pi - 2 \pi / 4 \right) = 2 \pi$, $5 \times \left( \pi - 2 \pi / 4 \right) = 5 \pi / 2$, eccetera.

$n = 4$

Il $4$-politopo regolare $\left\{ k , h , j \right\}$ è costituito da celle $\left\{ k , h \right\}$ e $j$ celle incidono su ogni spigolo. Esistono $6$ politopi regolari tetradimensionali (chiamati anche policori regolari) come dimostrato da Schlafli nel suo Theorie der Vielfachen Kontinuität del 1852: ipertetraedro $\left\{ 3 , 3 , 3 \right\}$, esadecacoro $\left\{ 3 , 3 , 4 \right\}$, tesseratto $\left\{ 4 , 3 , 3 \right\}$ (protagonista del brillante racconto La casa nuova di Heinlein del 1941), $24$-cella $\left\{ 3 , 4 , 3 \right\}$, $600$-cella $\left\{ 3 , 3 , 5 \right\}$ e iperdodecaedro $\left\{ 5 , 3 , 3 \right\}$.

L'unico policoro regolare che non ha un analogo in dimensione $3$ è il $24$-cella. Il $24$-cella è inoltre autoduale ed è l'unica eccezione alla regola per cui esiste un unico politopo autoduale in ogni dimensione (vedi simplesso nel prossimo paragrafo). Questo rende il $24$-cella il più singolare tra i politopi regolari. Ne esiste una scultura in acciaio inossidabile chiamata Octacube (uno dei vari nomi associati al $24$-cella) nel dipartimento di matematica della Pennsylvania State University.

$n > 4$

In dimensione $n > 4$ esistono solo $3$ politopi regolari. È abbastanza intuitivo capire che è possibile costruirli in dimensione arbitraria, meno intuitivo è dimostrare che per $n > 4$ sono i soli possibili.

Il primo si chiama simplesso e continua la sequenza: punto, segmento, triangolo, tetraedro, ipertetraedro, eccetera. Ha simbolo di Schlafli $\left\{ 3 , 3 , ... , 3 \right\}$ ed è quindi autoduale. Come già evidenziato tutti i politopi autoduali sono simplessi a meno del $24$-cella. Un $n$-simplesso ha $n + 1$ vertici: uno per ogni asse più uno nell'origine. Il nome viene dal fatto che è il politopo (non solo regolare) con minor numero di vertici, quindi più semplice, che è possibile costruire. In un $n$-simplesso il numero di $k$-facce con con $k \leq n$ corrisponde al coefficiente binomiale $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{\left( n - k \right)! \, k!} $$ quindi se alla tabella

Dimensione	Nome	Vertici	Spigoli	Facce	Celle	$4$-facce
$0$	punto	$1$
$1$	segmento	$2$	$1$
$2$	triangolo	$3$	$3$	$1$
$3$	tetraedro	$4$	$6$	$4$	$1$
$4$	ipertetraedro	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$

si aggiunge una colonna di $1$ a sinistra si ottiene il triangolo di Tartaglia

					$1$
				$1$		$1$
			$1$		$2$		$1$
		$1$		$3$		$3$		$1$
	$1$		$4$		$6$		$4$		$1$
$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		$1$

(in cui i numeri dispari corrispondono ad un triangolo di Sierpinski).

Il secondo è chiamato in inglese cross-polytope. Continua la sequenza: punto, segmento, quadrato, ottaedro, esadecacoro, eccetera. Ha simbolo di Schlafli $\left\{ 3 , ... , 3 , 4 \right\}$. In dimensione $n$ ha $2 \, n$ vertici: due per ogni asse (uno nel semiasse negativo e uno nel semiasse positivo), da cui il nome.

Il terzo è chiamato in inglese measure-polytope e è il duale del secondo, quindi ha simbolo di schlafli $\left\{ 4 , 3 , ... , 3 \right\}$. Continua la sequenza: punto, segmento, quadrato, cubo, tesseratto, eccetera. All'evidente disposizione dei vertici si rifà il nome.

Dimensione	Numero	Nome	Simbolo	Vertici	Spigoli	Facce	Celle
$0$	$1$	punto
$1$	$1$	segmento		$2$
$2$	$\infty$	poligoni regolari	$\left\{ k \right\}$	$k$	$k$
$3$	$5$	tetraedro	$\left\{ 3 , 3 \right\}$	$4$	$6$	$4 \times \left\{ 3 \right\}$
		ottaedro	$\left\{ 3 , 4 \right\}$	$6$	$12$	$8 \times \left\{ 3 \right\}$
		cubo	$\left\{ 4 , 3 \right\}$	$8$	$12$	$6 \times \left\{ 4 \right\}$
		icosaedro	$\left\{ 3 , 5 \right\}$	$12$	$30$	$20 \times \left\{ 3 \right\}$
		dodecaedro	$\left\{ 5 , 3 \right\}$	$20$	$30$	$12 \times \left\{ 5 \right\}$
$4$	$6$	ipertetraedro	$\left\{ 3 , 3 , 3 \right\}$	$5$	$10$	$10 \times \left\{ 3 \right\}$	$5 \times \left\{ 3 , 3 \right\}$
		esadecacoro	$\left\{ 3 , 3 , 4 \right\}$	$8$	$24$	$32 \times \left\{ 3 \right\}$	$16 \times \left\{ 3 , 3 \right\}$
		tesseratto	$\left\{ 4 , 3 , 3 \right\}$	$16$	$32$	$24 \times \left\{ 4 \right\}$	$8 \times \left\{ 4 , 3 \right\}$
		$24$-cella	$\left\{ 3 , 4 , 3 \right\}$	$24$	$96$	$96 \times \left\{ 3 \right\}$	$24 \times \left\{ 3 , 4 \right\}$
		$600$-cella	$\left\{ 3 , 3 , 5 \right\}$	$120$	$720$	$1200 \times \left\{ 3 \right\}$	$600 \times \left\{ 3 , 3 \right\}$
		iperdodecaedro	$\left\{ 5 , 3 , 3 \right\}$	$600$	$1200$	$720 \times \left\{ 5 \right\}$	$120 \times \left\{ 5 , 3 \right\}$
$n$	$3$	simplesso	$\left\{ 3 , 3 , ... , 3 \right\}$	$n + 1$	...	...	...
		cross-polytope	$\left\{ 3 , ... , 3 , 4 \right\}$	$2 \, n$	...	...	...
		measure-polytope	$\left\{ 4 , 3 , ... , 3 \right\}$	$2^n$	...	...	...