Processing math: 100%

Julia.exe

Questo programma è scritto in C++, ma in realtà tutta la parte di codice che riguarda la visualizzazione dei frattali vera e propria è scritta in GLSL, il linguaggio di shading di OpenGL. Sfruttando la scheda video, che esegue in parallelo i calcoli da effettuare pixel per pixel, è possibili disegnare l'insieme di Mandelbrot e sovrapporci in tempo reale, in base alla posizione del mouse, anche l'insieme di Julia e la spezzata che rappresenta la successione $\left\{ z_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ che definisce questi insiemi.

Definizione

L'insieme di Mandelbrot (a cui è dedicata un'altra pagina del mio sito) è definito come l'insieme dei numeri complessi $c$ tali per cui la successione data da $$\begin{alignedat}{2} z_0 &= 0 \\ z_{n + 1} &= z_n^2 + c \end{alignedat}$$ è limitata (se la rappresentazione geometrica dei numeri complessi non ti è familiare potresti dare un'occhiata a Argand.exe, un altro piccolo programma a cui ho dedicato una pagina del mio sito).

Un insieme di Julia è invece definito come l'insieme dei numeri complessi $c$ per cui è limitata la successione $$\begin{alignedat}{2} z_0 &= c \\ z_{n + 1} &= z_n^2 + C \end{alignedat}$$ per un certo $C$ fissato. In pratica le uniche differenze sono che $z_0$, il primo elemento della successione, non è $0$, ma il punto $c$ di cui si vuole verificare l'appartenenza con l'insieme, mentre l'addendo nella definizione della successione non è il punto di cui si vuole verificare l'appartenenza, ma è un parametro fisso $C$. Possiamo quindi dire che questo parametro "indicizza" tutti i possibili insiemi di Julia.

Connessione degli insiemi di Julia

Se $C$ appartiene all'insieme di Mandelbrot il corrispondente insieme di Julia sarà connesso, quindi formato da un "unico pezzo" (più formalmente: gli unici sottoinsieme ad essere sia aperti che chiusi sono l'insieme vuoto e l'insieme stesso). Potremmo quindi dare una definizione alternativa dell'insieme di Mandelbrot definendo prima gli insiemi di Julia e definendo poi l'insieme di Mandelbrot come l'insieme dei numeri complessi $C$ per i quali il relativo insieme di Julia è connesso.

L'insieme complementare ad un insieme di Julia si dice insieme di Fatou. Gaston Julia e Pierre Fatou furono due matematici francesi che per primi, all'inizio del secolo scorso, studiarono l'iterazione di funzioni complesse.