L'equazione di Dirac

Nel 1928, a soli due anni dalla pubblicazione da parte di Schrodinger della sua famosa equazione, Dirac ne ottiene una versione relativistica conciliando matematicamente la procedura di quantizzazione con la forma dell'energia per una particella relativistica. Ciò che ottiene è un'equazione che non solo descrive particelle dotate di spin, dando quindi una giustificazione teorica di tale grandezza, introdotta originariamente da Pauli nel 1924 come "grado di libertà quantico a due valori" per poter formulare il suo principio di esclusione e descrivere correttamente i gusci elettronici degli atomi, ma descrive anche particelle ad energia negativa, i positroni, cioè le antiparticelle degli elettroni, che furono poi rilevati sperimentalmente da Anderson nel 1932.

L'equazione di Dirac scritta in forma estesa è $$ \begin{gather} i h \!\!\!/ \left[ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \frac{\partial}{\partial x^0} + \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \frac{\partial}{\partial x^1} + \\ + \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \frac{\partial}{\partial x^2} + \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \frac{\partial}{\partial x^3} \right] \left( \begin{array}{c} \psi^0 \\ \psi^1 \\ \psi^2 \\ \psi^3 \end{array} \right) = m \, c \left( \begin{array}{c} \psi^0 \\ \psi^1 \\ \psi^2 \\ \psi^3 \end{array} \right) \end{gather} $$

Nell'equazione compare l'unità immaginaria $i = \sqrt{-1}$, la costante di Plank ridotta $h \!\!\!/ = h / 2 \pi$ (si legge "acca tagliato") che ha la dimensione di un'energia per un tempo e vale circa $10^{-34} \text{J} \cdot \text{s}$, le coordinate quadridimensionali nello spaziotempo di Minkowski $x^\mu$ (utilizziamo, com'è consuetudine, lettere greche per gli indici quadridimensionali $\mu = 0, 1, 2, 3$), la massa dell'elettrone $m$, la velocità della luce $c$ e infine $\psi^i$, la funzione d'onda spinoriale a quattro componenti (utilizziamo le lettere latine per gli indici spinoriali).

Le quattro matrici 4 per 4, chiamate matrici $\gamma$ di Dirac, sono qui espresse in rappresentazione chirale (o di Weyl). Questa rappresentazione, a differenza della più diffusa rappresentazione standard (o di Dirac), che facilita il limite non relativistico dell'equazione, permette di passare agevolmente alla forma a spinori a indici "puntati", che ne mostra invece in modo naturale l'invarianza relativistica. Qualsiasi rappresentazione che rispetti la definizione $$ \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 g^{\mu \nu} $$ è altrettanto valida.

Definendo le matrici di Pauli, introdotte da Pauli nel 1927 con la sua equazione in grado di descrivere, grazie a funzioni d'onda a due componenti, particelle dotate di spin (e che, col senno di poi, rappresenta il limite non relativistico dell'equazione di Dirac) $$ \sigma^1 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), \quad \sigma^2 = \left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right), \quad \sigma^3 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) $$ possiamo scrivere le matrici $\gamma$ come matrici a blocchi $$ \gamma^0 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right), \quad \gamma^i = \left( \begin{array}{cc} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{array} \right) $$ (in questo caso l'indice $i$ di $\gamma^i$ rappresenta la parte tridimensionale dell'indice quadridimensionale $\mu$) dove ovviamente si intende che $$ 1 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$

Utilizzando il simbolo $\gamma^\mu_{ij}$ (l'indice $\mu$ e gli indici $i$ e $j$ prendono i valori $0$, $1$, $2$ e $3$, ma in modo alquanto diverso: nel primo caso abbiamo un indice quadridimensionale, nell'altro caso due indici spinoriali) scriviamo $$ i h \!\!\!/ \left( \gamma^0_{ij} \frac{\partial}{\partial x^0} + \gamma^1_{ij} \frac{\partial}{\partial x^1} + \gamma^2_{ij} \frac{\partial}{\partial x^2} + \gamma^3_{ij} \frac{\partial}{\partial x^3} \right) \psi^j = m \, c \, \psi^i $$ e, utilizzando come di consueto la notazione di Einstein per le sommatorie, sottintendendo quindi il simbolo di sommatoria quando compare un indice ripetuto, scriviamo $$ i h \!\!\!/ \gamma^\mu_{ij} \frac{\partial}{\partial x^\mu} \psi^j = m \, c \, \psi^i $$ Utilizzando unità di misura naturali per cui $h \!\!\!/ = c = 1$ e $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ per le derivate parziali $$ i \gamma^\mu_{ij} \partial_\mu \psi^j = m \, \psi^i $$ e sottintendendo gli indici spinoriali scriviamo $$ i \gamma^\mu \partial_\mu \psi = m \, \psi $$ o ancora, utilizzando il simbolo di prodotto scalare (che però in contesto fisico viene più spesso relegato all'ambito tridimensionale) per sottintendere anche gli indici quadridimensionali possiamo scrivere $$ i \gamma \cdot \partial \psi = m \, \psi $$ così com'è riportata nell'epitaffio di Dirac. Seguendo invece la convenzione a barra di Feynman definiamo l'operatore $\partial \!\!\!/ = \gamma^\mu \partial_\mu$ e otteniamo infine la sintetica e ingannevolmente semplice $$ i \partial \!\!\!/ \, \psi = m \, \psi $$ che possiamo scrivere anche nella forma $$ \left( i \partial \!\!\!/ \, - m \right) \psi = 0 $$